新型コロナの無症状者の実効再生産数を試しに計算してみた（２）

次は逆に Ra/Rs = k とした時、p と k を用いて感染経路不明者の割合を計算してみます。各記号の意味は前と同じとします。

第 k世代 (全体の感染者数を 1と置く)
  Ns(k) = 1-q
  Na(k) = q
第 k+1世代
  Nss(k+1) = Ns(k)*Rs*(1-p) = (1-p)*(1-q)*Rs
  Nsa(k+1) = Ns(k)*Rs*p = p*(1-q)*Rs
  Nas(k+1) = Na(k)*Ra*(1-p) = k*(1-p)*q*Rs
  Naa(k+1) = Na(k)*Ra*p = k*p*q*Rs

検査では以下の人数が計測されます。
  濃厚接触者: Nss(k+1) + Nsa(k+1)
  感染経路不明者: Nas(k+1)
前と同様に検査は完璧で、濃厚接触者と発症した感染者は全て捕まると仮定します。

・第 k+1世代で感染者のうち検査で捕まる人数の比率が 1-q になる(定常状態)
  Na(k) : Ns(k) = Naa(k+1) : Nas(k+1)+Nsa(k+1)+Nss(k+1)
  q : 1-q = k*p*q*Rs : k*(1-p)*q*Rs + p*(1-q)*Rs + (1-p)*(1-q)*Rs
    = k*p*q : k*(1-p)*q + 1-q
  q*{k*(1-p)*q + 1-q} = (1-q)*k*p*q
  k*(1-p)*q + 1-q = k*p*(1-q) --- (2)
  k*q - q - k*p*q + 1 = k*p - k*p*q
  (k-1)q = k*p - 1
  q = (k*p - 1)/(k-1)

・感染経路不明者の割合を計算すると
  Nas(k+1) / {Nas(k+1) + Nsa(k+1) + Nss(k+1)}
    = k*(1-p)*q*Rs / {k*(1-p)*q*Rs + p*(1-q)*Rs + (1-p)*(1-q)*Rs}
    = k*(1-p)*q / {k*(1-p)*q + 1-q}
  (2)より
    = k*(1-p)*q / {k*p*(1-q)}
    = (1-p)/p * q/(1-q)
    = (1-p)/p * (k*p - 1)/(k-1) / {1 - (k*p-1)/(k-1)}
    = (1-p)/p * (k*p - 1) / {k-1 - (k*p-1)}
    = (1-p)/p * (k*p - 1) / (k - k*p)
    = (1-p)/p * (k*p - 1) / k / (1-p)
    = (k*p - 1) / kp
    = 1 - 1/(kp)

計算では感染経路不明者の割合は、k と p が決まれば一定の値になってます。
変動する要因としては以下のようなものが考えられます。

[感染経路不明者の割合を下げる要因]
・第 k+1 世代の濃厚接触者には、その人に伝染した第 k 世代の無症状者も含まれるはずで、これにより q が下がり感染経路不明者の割合が下がります。

[感染経路不明者の割合を上げる要因]
・感染経路不明者の一部が自己隔離をして、そこから発生する無症状者を追跡できなくなると q が上がり感染経路不明者の割合が上がります。
・無症状者の割合を 40% と仮定しましたが、この値(p)が変化すると感染経路不明者の割合も変わります。p=50%、k=5 とすると、感染経路不明者の割合は 60% になります。また発症者の濃厚接触者として検査される集合の無症状者の割合が、年齢分布などの要因で全体の無症状者の割合より少ないと、感染経路不明者の割合が高くなると思います。